賃金センサス 割引計算

求め方の解説

 

総務省統計局の政府統計の総合窓口へ行く。


「主要な統計から探す」をクリック



「賃金構造基本統計調査」をクリック



「平成○年度の賃金構造基本統計調査」の「一般労働者」の「産業大分類」をクリック



「年齢階級別きまって支給する現金給与額、所定内給与額及び年間賞与その他特別給与額」の「(産業計・産業別)」のエクセルマークからエクセルデータをダウンロード



産業計、企業規模計のエクセルデータであることを確認する。
([計]とは区別しない、[別]とは区別するという意味。)



賃金センサス = 「きまって支給する現金給与額」×12 + 「年間賞与その他特別給与額」×1
eg.
平成25年度(2013年度)の産業計・企業規模計・男女計・学歴計・年齢計の賃金センサスは、
32万4000円×12 + 80万1300円 = 468万9300円


 総務省統計局の統計を用いて、「平成○年度の賃金構造基本統計調査」に行くまでは通常の賃金センサスでの求め方と同じ。


「平成○年度の賃金構造基本統計調査」の「一般労働者」の「職種」をクリック



「職種別きまって支給する現金給与額、所定内給与額及び年間賞与その他特別給与額」からエクセルデータをダウンロード



賃金センサス = 「きまって支給する現金給与額」×12 + 「年間賞与その他特別給与額」×1
eg.
平成25年度の医師の企業規模計・男女計・年齢計の賃金センサスは、
83万3200円×12 + 72万100円 = 1071万8500円

医師の平均年収は1000万円超ということです。

 例年2月後半に更新されます。
 基礎年収として用いるには、[月額給与×12+ボーナス]の計算が必要なためか、公刊物で計算済みのものが発表されるまでなかなかウェブに出回りません。
 計算済みのものが公刊物に掲載されると、ほどなく行政書士によるコピペ・データがウェブに出回ります。ただ、再コピペ予防のためか意図的な誤データの混入がなされていると思われるものもあり、参照する時には注意が必要です。できるだけ原典に当たるようにしましょう。

 利息の増え方には複利と単利あるので、それに対応して、複利(ライプニッツ方式)と単利(新ホフマン方式)での割引方法がある。
 理解するのには高校2年生の数学レベルで必要にして十分なので、分かりやすく説明する。

(1)ライプニッツ係数[現価]

 割引計算とは、利率を\(\\i\)とした場合に、\(\\n\)年後に\(\\F_n\)となる元本\(\\G\)を計算することである。利息が複利で発生する場合の割引計算をライプニッツ方式と呼び、その際の割引係数をライプニッツ係数[現価]と呼ぶ。
 以下、このライプニッツ係数[現価]の求め方を説明する。

 一年後の利息(\(\\R\))は元金(\(\\G\))に利率(\(\\i\))を掛けて求める。 \begin{align*} R & = Gi \\ \end{align*}  元金の0年後は元金そのものなので、便宜上、下記のように表す。 \begin{align*} F_0 & = G\\ \end{align*}  以上の定義から、一年後の利息\(\ R_1 \)を\(\ F_0 \)で表すと下記のようになる。 \begin{align*} R_1 & = F_0i \\ \end{align*}  一年後、元金\(\ G\)には利息\(\ R_1 \)がつく。その合計額を\(\ F_1 \)とする。 \begin{align*} F_1 & = F_0 + R_1\\ & = F_0 + F_0i \\ & = G + Gi \\ & = G(1 + i) \\ \end{align*}  複利の場合、翌年の利息の元本は\(\ F_1 \)なので、二年後の利息は下記のようになる。
\begin{align*} R_2 & = F_1i \\ \end{align*}  元本\(\ F_1\)とその利息\(\\R_2\)の合計額を\(\ F_2 \)とする。 \begin{align*} F_2 & = F_1 + R_2\\ & = F_1 + F_1i \\ & = F_1(1 + i) \\ & = G(1 + i)(1 + i) \\ & = G(1 + i)^2 \\ \end{align*}  同様に、その翌年には\(\ R_3 = F_2i \)の利息が発生し、その利息と元本\(\ F_2\)の合計額を\(\ F_3\)とする。 \begin{align*} F_3 & = F_2 + R_3\\ & = F_2 + F_2i \\ & = F_2(1 + i) \\ & = G(1 + i)^2(1 + i) \\ & = G(1 + i)^3 \\ \end{align*}  \(\ F_2 \)や\(\ F_3 \)でパターンが見えたように、\(\ F_n \)は下記の一般式で記述できる。 \begin{align*} F_0 & = G \\ F_1 & = G(1 + i)^1 \\ F_2 & = G(1 + i)^2 \\ &\cdot \\ &\cdot \\ &\cdot \\ F_n & = G(1 + i)^n \\ \end{align*}  この式の意味することは、元本が\(\ G\)、利率が\(\ i\)であれば、複利で利息が発生する場合、\(\\n\)年後には、\(\ F_n \)になっていて、\(\ F_n \)は\(\ G(1 + i)^n \)で求められるということである。

 逆に、\(\\n\)年後に\(\ F_n \)になる元本\(\ G\)を求めるには、\(\ F_n \)を\(\ (1 + i)^n\)で割ればよい。 \begin{align*} \frac{F_n}{(1 + i)^n} & = G \\ \end{align*}  割引計算とは、冒頭で定義したように、利率を\(\\i\)とした場合に、\(\\n\)年後に\(\\F_n\)となる元本\(\\G\)を計算することである。
 従って、\(\ F_n \)を\(\ (1 + i)^n\)で割って\(\ G\)を求めることは、すなわち、\(\ F_n \)の現在価値を求めることである。
 この\(\\n\)年後の\(\ F_n \)を現在価値に割引計算する係数\(\ \frac{1}{(1 + i)^n}\)をライプニッツ係数[現価]と呼ぶ。


(2)ライプニッツ係数[年金現価]

 \(\\n\)年の期間に渡り、毎年\(\\P\)が支給される場合、その各々の支給を各年度ごとに割引計算し合計した値を、\(\\P\)に掛け合わすことで求める係数をライプニッツ係数[年金現価]と呼ぶ。
 以下、このライプニッツ係数[年金現価]の求め方を説明する。

 1年後に支給される\(\\P\)の現在価値はライプニッツ係数[現価]を掛け合わせた数である。これを\(\ H_1\)と呼ぶ。
\begin{align*} H_1 & = \frac{P}{(1 + i)} \\ \end{align*}  2年後以降の\(\\P\)の現在価値も、\(\\P\)に\(\\n\)年度に対応するライプニッツ係数[現価]を掛け合わせた数であるので、下記のようになる。 \begin{align*} H_1 & = \frac{P}{(1 + i)} \\ H_2 & = \frac{P}{(1 + i)^2} \\ &\cdot \\ &\cdot \\ &\cdot \\ H_n & = \frac{P}{(1 + i)^n} \\ \end{align*}  これらを合計すると、下記のように記述することができる。 \begin{align*} H_1 + H_2 \cdots + H_n & \\ = \sum_{k=1}^{n} H_n & = \sum_{k=1}^{n} \frac{P}{(1 + i)^k} \\    & = P \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1 + i)^k} \\ \end{align*}  この式の意味することは、\(\\n\)年間に渡り、毎年\(\\P\)が支給され、毎年各々の\(\\P\)について利息\(\\i\)の複利で割引計算したその合算額は、\(\\P\)に\(\ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1 + i)^k}\)を掛け合わせた数ということである。

 ライプニッツ係数[年金現価]は、冒頭で定義したとおり、\(\\n\)年の期間に渡り、毎年\(\\P\)が支給される場合、その各々の支給を各年度ごとに割引計算し合計した値を、\(\\P\)に掛け合わすことで求める係数であるので、このシグマ\(\ \sum_{}^{} \)の値がライプニッツ係数[年金現価]となる。このライプニッツ係数[年金現価]を便宜上\(\ L_n\)と記述する。
\begin{align*} L_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1 + i)^k} = \frac{1}{(1 + i)} + \frac{1}{(1 + i)^2} + \frac{1}{(1 + i)^3} \cdots + \frac{1}{(1 + i)^n}\\ \end{align*}  ところで、この式の両辺に\(\ (1+i)\)を掛け合わせると、 \begin{align*} L_n(1+i) = 1 + \frac{1}{(1 + i)} + \frac{1}{(1 + i)^2} \cdots + \frac{1}{(1 + i)^{n-1}}\\ \end{align*}  下の式から上の式を引くと、 \begin{align*} L_n(1+i) - L_n & = 1 - \frac{1}{(1 + i)^n} \\ L_ni & = 1 - \frac{1}{(1 + i)^n} \\ L_n &= \frac{1 - \frac{1}{(1 + i)^n}}{i}    (i≠0) \end{align*}  \(\ i=0\) の場合、元の式より、\(\ L_n = n \)

(3)ライプニッツ係数[現価]とライプニッツ係数[年金現価]の具体的意味

 例えば、10年後の100万円について利率5%の複利で割引計算して現在価値を求めるには、100万円にライプニッツ係数[現価]を掛け合わせる。 \begin{align*} \ 1,000,000 × \frac{1}{(1+0.05)^{10}} ≒ 613,913\\ \end{align*}

 次に、10年間に渡って毎年100万円の収入がある場合、その各々を割引計算した総額を求めるには、100万円にライプニッツ係数[年金現価]を掛け合わせる。 \begin{align*} \ 1,000,000 × \frac{1 - \frac{1}{(1 + 0.05)^{10}}}{0.05} ≒ 7,721,735\\ \end{align*}


(4)ライプニッツ係数(年金現価)とn年が端数の場合

 ライプニッツ係数[現価]の式は連続した関数なので、nに小数点が入っても問題がない。
 しかし、ライプニッツ係数[年金現価]については、総和\(\ \sum_{}^{} \)の定義から、nは自然数であることを要し、端数年の計算には特別な処理を必要とする。

 ライプニッツ係数[年金現価]は、ライプニッツ係数[現価]\(\ \frac{1}{(1 + i)^n}\) のグラフにおいて下記の意味を持つ。

 まず、ライプニッツ係数[現価]のグラフを書く。

\(\ {0 < i}\)

ライプニッツ係数[年金現価]は、前述のように、下記のとおりであるので、 \begin{align*} L_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1 + i)^k} = \frac{1}{(1 + i)} + \frac{1}{(1 + i)^2} + \frac{1}{(1 + i)^3} \cdots + \frac{1}{(1 + i)^n}\\ \end{align*}

 ライプニッツ係数[年金現価]は、横1×縦\(\ \frac{1}{(1 + i)^x} \)の長方形の面積の合計を意味する。

 端数年がある場合をグラフに書くと下記の通りになる。\(\ m\)を小数を含む数字とした場合に、\(\ n\)を整数部分とし、\(\ d\)を小数部分とする(\(\\m = n + d \))。



 そうすると、長方形の面積の合計は、黄色の部分(整数部分)と濃い緑の部分(端数部分)になる。 \begin{align*} Area & = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1 + i)^k} + d \frac{1}{(1 + i)^{n+1}} \\ L_{m}& = Area \end{align*}  

(1)新ホフマン係数[現価]

 割引計算とは、利率を\(\\i\)とした場合に、\(\\n\)年後に\(\\F_n\)となる元本\(\\G\)を計算することである。利息が単利で発生する場合の割引計算を新ホフマン方式と呼び、その際の割引係数を新ホフマン係数[現価]と呼ぶ。
 以下、この新ホフマン係数[現価]の求め方を説明する。

 一年後の利息(\(\\R\))は元金(\(\\G\))に利率(\(\\i\))を掛けて求める。 \begin{align*} R & = Gi \\ \end{align*}  元金の0年後は元金そのものなので、便宜上、下記のように表す。 \begin{align*} F_0 & = G\\ \end{align*}  以上の定義から、一年後の利息\(\ R_1 \)を\(\ F_0\)で表すと下記のようになる。 \begin{align*} R_1 & = F_0i \\ \end{align*}  一年後、元金\(\ G\)には利息\(\ R_1 \)がつく。その合計額を\(\ F_1 \)とする。 \begin{align*} F_1 & = F_0 + R_1\\ & = F_0 + F_0i \\ & = G + Gi \\ & = G(1 + i) \\ \end{align*}  単利の場合、翌年の利息の元本は\(\ G\)なので、二年後の利息は下記のようになる。
\begin{align*} R_2 & = Gi \\ \end{align*}  元本\(\ F_1\)とその利息\(\\R_2\)の合計額を\(\ F_2 \)とする。 \begin{align*} F_2 & = F_1 + R_2\\ & = G(1+i) + Gi \\ & = G(1+2i) \\ \end{align*}  同様に、その翌年には\(\ R_3 = Gi \)の利息が発生し、その利息と元本\(\ F_2\)の合計額を\(\ F_3\)とする。 \begin{align*} F_3 & = F_2 + R_3\\ & = F_2 + Gi \\ & = G(1+2i) + Gi \\ & = G(1+3i)\\ \end{align*}  \(\ F_2 \)や\(\ F_3 \)でパターンが見えたように、\(\ F_n \)は下記の一般式で記述できる。 \begin{align*} F_0 & = G \\ F_1 & = G(1 + i) \\ F_2 & = G(1 + 2i) \\ F_3 & = G(1 + 3i) \\ &\cdot \\ &\cdot \\ &\cdot \\ F_n & = G(1 + ni) \\ \end{align*}  この式の意味することは、元本が\(\ G\)、利率が\(\ i\)であれば、単利で利息が発生する場合、\(\\n\)年後には、\(\ F_n \)になっていて、\(\ F_n \)は\(\ G(1 + ni) \)で求められるということである。

 逆に、\(\\n\)年後に\(\ F_n \)になる元本\(\ G\)を求めるには、\(\ F_n \)を\(\ (1 + ni)\)で割ればよい。 \begin{align*} \frac{F_n}{(1 + ni)} & = G \\ \end{align*}  割引計算とは、冒頭で定義したように、利率を\(\\i\)とした場合に、\(\\n\)年後に\(\\F_n\)となる元本\(\\G\)を計算することである。
 従って、\(\ F_n \)を\(\ (1 + ni)\)で割って\(\ G\)を求めることは、すなわち、\(\ F_n \)の現在価値を求めることである。
 この\(\\n\)年後の\(\ F_n \)を現在価値に割引計算する係数\(\ \frac{1}{(1 + ni)}\)を新ホフマン係数[現価]と呼ぶ。


(2)新ホフマン係数[年金現価]

 \(\\n\)年の期間に渡り、毎年\(\\P\)が支給される場合、その各々の支給を各年度ごとに割引計算し合計した値を、\(\\P\)に掛け合わすことで求める係数を新ホフマン係数[年金現価]と呼ぶ。
 以下、この新ホフマン係数[年金現価]の求め方を説明する。

 1年後に支給される\(\\P\)の現在価値は新ホフマン係数(現価)を掛け合わせた数である。これを\(\ H_1\)と呼ぶ。
\begin{align*} H_1 & = \frac{P}{(1 + i)} \\ \end{align*}  2年後以降の\(\\P\)の現在価値も、\(\\P\)に\(\\n\)年度に対応する新ホフマン係数[現価]を掛け合わせた数であるので、下記のようになる。 \begin{align*} H_1 & = \frac{P}{(1 + i)} \\ H_2 & = \frac{P}{(1 + 2i)} \\ H_3 & = \frac{P}{(1 + 3i)} \\ &\cdot \\ &\cdot \\ &\cdot \\ H_n & = \frac{P}{(1 + ni)} \\ \end{align*}  これらを合計すると、下記のように記述することができる。 \begin{align*} H_1 + H_2 + H_3 \cdots + H_n & \\ = \sum_{k=1}^{n} H_n & = \sum_{k=1}^{n} \frac{P}{(1 + ki)} \\    & = P \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1 + ki)} \\ \end{align*}  この式の意味することは、\(\\n\)年間に渡り、毎年\(\\P\)が支給され、毎年各々の\(\\P\)について利息\(\\i\)の単利で割引計算したその合算額は、\(\\P\)に\(\ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1 + ki)}\)を掛け合わせた数ということである。

 新ホフマン係数[年金現価]は、冒頭で定義したとおり、\(\\n\)年の期間に渡り、毎年\(\\P\)が支給される場合、その各々の支給を各年度ごとに割引計算し合計した値を、\(\\P\)に掛け合わすことで求める係数であるので、このシグマ\(\ \sum_{}^{} \)の値が新ホフマン係数[年金現価]となる。この新ホフマン係数[年金現価]を便宜上\(\ S_n\)と記述する。
\begin{align*} S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1 + ki)} = \frac{1}{(1 + i)} + \frac{1}{(1 + 2i)} + \frac{1}{(1 + 3i)} \cdots + \frac{1}{(1 + ni)}\\ \end{align*}

(3)新ホフマン係数[現価]と新ホフマン係数[年金現価]の具体的意味

 例えば、10年後の100万円について利率5%の単利で割引計算して現在価値を求めるには、100万円に新ホフマン係数[現価]を掛け合わせる。 \begin{align*} \ 1,000,000 × \frac{1}{(1+10×0.05)} ≒ 666,667\\ \end{align*}

 次に、10年間に渡って毎年100万円の収入がある場合、その各々を割引計算した総額を求めるには、100万円に新ホフマン係数[年金現価]を掛け合わせる。 \begin{align*} \ 1,000,000 × \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{(1 + 10×0.05)} & ≒ 1,000,000×7.945\\ & ≒ 7,945,000 \\ \end{align*}


(4)新ホフマン係数(年金現価)とn年が端数の場合

 新ホフマン係数係数[現価]の式は連続した関数なので、nに小数点が入っても問題がない。
 しかし、新ホフマン係数[年金現価]については、総和\(\ \sum_{}^{} \)の定義から、nは自然数であることを要し、端数年の計算には特別な処理を必要とする。

 新ホフマン係数[年金現価]は、新ホフマン係数[現価]\(\ \frac{1}{(1 + ni)}\) のグラフにおいて下記の意味を持つ。

 まず、新ホフマン係数[現価]のグラフを書く。

\(\ {0 < i}\)

新ホフマン係数[年金現価]は、前述のように、下記のとおりであるので、 \begin{align*} L_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1 + ki)} = \frac{1}{(1 + i)} + \frac{1}{(1 + 2i)} + \frac{1}{(1 + 3i)} \cdots + \frac{1}{(1 + ni)}\\ \end{align*}

 新ホフマン係数[年金現価]は、横1×縦\(\ \frac{1}{(1 + xi)} \)の長方形の面積の合計を意味する。

 端数年がある場合をグラフに書くと下記の通りになる。\(\ m\)を小数を含む数字とした場合に、\(\ n\)を整数部分とし、\(\ d\)を小数部分とする(\(\\m = n + d \))。



 そうすると、長方形の面積の合計は、黄色の部分(整数部分)と濃い緑の部分(端数部分)になる。 \begin{align*} Area & = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1 + ki)} + d \frac{1}{(1 + (n+1)i)} \\ L_{m}& = Area \end{align*}

 交通事故の損害計算においてはよく「控除」という言葉が用いられる。
 例えば、(a)損益相殺における利益の「控除」、(b)中間利息の「控除」、(c)就労開始までのライプニッツ係数[年金現価]の「控除」などで「控除」という言葉が用いられるが、これらの「控除」の意味は全て異なるため、使い分ける必要がある。
 ここでは(c)就労開始までのライプニッツ係数[年金現価]の控除について、なぜ控除が必要なのか図解しながら説明します。



 症状固定から就労開始までに時間が空く場合にそれまでのライプニッツ係数[年金現価]の控除が必要なのは、時間経過があるほど、低減される割合額が大きくなるからである。



 前述のように、各年ごとに割り引かれた値が黄色の部分であり、ライプニッツ係数[年金現価]はその合計額なので黄色の部分の面積によって表される。
 反対に、各年ごとに低減される具体的な割合額は緑の部分であり(これに\(\ P\)を掛けた値が"中間利息")、その合計額は緑の部分の面積によって表される。



 緑の部分を便宜上三角形で示す。(概略の説明のためなので、斜辺が曲線かどうかはここでは本質的なことではない。)
 そして、分かり易くするために、上下を逆にする



 図を整える。



 この図が示すことは、各年ごとに\(\\P\)の収入がある場合、低減される金額は\(\\P×\)緑の部分の面積ということである。

 では、ここで、6歳の子供が障害を負い、18歳で就労し、67歳まで働く場合、就労可能年数は49年であるがどれくらい低減されるかを考えてみる。



 図のように低減される金額は緑の台形の面積\(\\×P\)である。

 これを 控除期間 L 割引期間 の記号で記述するならば、下記のようになろう。

   黒の部分  \(\ L_{12}\)
   緑の部分  \(\ _{12}L_{61} = L_{61} - L_{12} \)

 単純に経過年数49の三角形の面積としてはならないのは、経過年数が増加するごとに、低減される割合が増加するからである。



 参考までに、期間49年の三角形の面積を図にすると上のようになる。

   肌色の部分  \(\ L_{49} \)

   このように、\( L_{49} \neq \) \(\ _{12}L_{61} \)

 以上のように、経過年数が増加するごとに金額の低減が大きくなっていくため、就労開始までに期間が空いている場合、単純に就労年数のライプニッツ係数[年金現価]を掛けて割り引き計算することは間違いであり、全割引期間に対応するライプニッツ係数[年金現価]から就労開始までの期間に対応するライプニッツ係数[年金現価]を「控除」(引き算)する必要がある。

経過年年(n)   利率%(i) 小数点
ライプニッツ係数[現価]
ライプニッツ係数[年金現価]
ライプニッツ係数[年金現価](積分)
ホフマン係数[現価]
ホフマン係数[年金現価]
ホフマン係数[年金現価](積分)